simworks | fdtd中的边界条件-凯发娱乐

前言

在时域有限差分法（fdtd）中，边界条件在fdtd模拟中起着非常重要的作用，它们是开放建模区域用于截断计算域所施加的条件，可以决定电磁波在边界处的反射、透射和吸收等行为。我们将介绍fdtd模拟中网格截断的几种不同边界条件，包括理想电导体（pec）、理想磁导体（pmc）、周期边界条件、bloch边界条件、一阶mur吸收边界条件以及pml边界条件。其中mur边界条件以及pml边界条件都是吸收边界，可以模拟光源激发的场传播到无穷远处被完全吸收的情况，从而降低反射的光波对fdtd截断区域的影响，这对fdtd的数值计算至关重要。

理想电导体和理想磁导体

当pec条件被应用于截断fdtd计算域时，它将使边界上的切向电场为零。pec可以理解为电导率无限大的材料。它的实际例子是波导和腔壁，以及微波电路或贴片天线的接地平面。

与pec一样，理想磁导体也是电磁波的一种自然边界条件，也是全反射的。然而，与pec不同的是，pmc不是物理的，它只是一种技巧。原则上，我们可以通过强制pmc表面上的切向磁场为零，来截断计算域。

pec和pmc经常利用仿真的对称性，以减小计算域的大小，或者用于截断正入射平面波时的周期性结构。

周期边界条件和bloch边界条件

周期边界条件通常用于模拟周期性结构，通过应用这种边界条件，fdtd计算域中的结构和电磁场都被视为周期性的。这意味着在计算域内，结构和电磁场的变化会在一个周期内重复。而bloch边界条件主要适用于平面波以一定角度入射到周期性结构中的情况。bloch边界条件将对模拟区域内一个边界处的场进行相位调整，然后将其注入到另一个边界中。通过使用bloch边界条件，可以准确地模拟周期性结构中的任意入射角度的电磁波传播特性，其公式可表示为：

$e_{x\_max}=e^{-ia_xk_x}e_{x\_min} \\$
$e_{x\_min}=e^{ia_xk_x}e_{x\_max}\tag*{} $

其中 a_x 为平移的晶格矢量， k_x 为bloch波矢。以下为倾斜平面波入射时的电场分布，使用bloch边界和pml边界的结果。入射光在bloch边界的作用下拓展为无限大的平面入射，然后在pml边界当中被吸收。

吸收边界

由于计算机容量的限制，fdtd只能在有限区域内进行模拟。为了能够模拟开放区域电磁过程，在有限的计算区域截断边界处必须给出吸收边界条件。常用的吸收边界有mur吸收边界和完美匹配层吸收边界。

mur吸收边界

在pml出现之前，mur吸收边界在fdtd的发展中发挥了重要作用。即使在今天，我们仍然可以利用这种简单的边界条件在fdtd模拟中获得相当好的结果。虽然mur边界的吸收效果比pml差，但是它在模拟速度和内存需求方面优于pml。以一维平面波为例，其场分量 $\phi(x ct)$ 满足波动方程

$(\cfrac{\partial}{\partial x}-\cfrac{1}{c}\cfrac{\partial}{\partial t})\phi(x,t)=0\tag*{} $

在fdtd网格当中，场分量按照迭代方程进行更新，而在边界处，由于缺少对应分量，只能采用吸收边界条件进行更新。此时mur吸收边界条使用上一个时间步边界附近的场分量对其进行近似，即为

$\phi_{x=0}^{n 1}=(1-\cfrac{c\delta t}{\delta x})\phi_{x=0}^{n} \cfrac{c\delta t}{\delta x}\phi_{x=1}^{n}\tag*{} $

对上式进行差分近似

$\phi_{x=0}^{n 1}=\phi_{x=1}^{n} \cfrac{c\delta t-\delta x}{c\delta t \delta x}[\phi_{x=1}^{n 1}-\phi_{x=0}^{n}]\tag*{} $

在实际的fdtd计算当中，其边界的电场更新方程即为

$e_y^{n 1}(0,j 1/2,k)=e_y^{n}(0,j 1/2,k) \cfrac{c\delta t-\delta x}{c\delta t \delta x}[e_y^{n 1}(1,j 1/2,k)-e_y^{n}(0,j 1/2,k)] \\$

完美匹配层

pml实际上也是一种人工各向异性材料，理论上它是一种损耗材料，并且反射极低。尽管自berenger引入原始版本以来，相关研究人员已经提出了各种不同的版本，比如upml，cpml等，但这些版本体现的中心概念仍然与berenger发现的相同。下面简单介绍berenger-pml（bpml），即分裂场完美匹配层，以二维te为例，其将磁场分量分裂为两个子分量 $h_{zx},h_{zy}$ ，且 $h_{zx} h_{zy}=h_z$ ，对应麦克斯韦方程为

$\begin{cases} \varepsilon\cfrac{\partial e_x}{\partial t} \sigma_ye_x=\cfrac{\partial(h_{zx} h_{zy})}{\partial y}\\ \varepsilon\cfrac{\partial e_y}{\partial t} \sigma_xe_y=-\cfrac{\partial(h_{zx} h_{zy})}{\partial x}\\ \mu\cfrac{\partial h_{zx}}{\partial t} \sigma_{mx}h_{zx}=-\cfrac{\partial e_y}{\partial x}\\ \mu \cfrac{\partial h_{zy}}{\partial t} \sigma_{my}h_{zy}=\cfrac{\partial e_x}{\partial y} \end{cases} \tag*{} $

其中介质参数 $(\sigma_x,\sigma_{mx},\sigma_y,\sigma_{my})$ 满足阻抗匹配条件，当材料参数为（0，0，0，0）时即为真空。

$\begin{cases} \cfrac{\sigma_x}{\varepsilon_0}=\cfrac{\sigma_{mx}}{\mu_0}\\ \cfrac{\sigma_y}{\varepsilon_0}=\cfrac{\sigma_{my}}{\mu_0} \end{cases} \tag*{} $

电磁波的任意波长以任意角度都能在pml层当中传播，但振幅由于pml吸收而不断衰减。如下图所示，此时pml层分为周围四个边以及四个顶角八个区域，按图中所示构建参数，可以使得相邻的pml区域没有反射。

实际计算当中，pml层也不可能无限厚度，依然在最外层采用理想电导体截断。电磁波经过pml层后会被pec边界完全反射回来，重新经过pml吸收并最终进入fdtd仿真区域。此时反射系数为

$r(\theta)=exp(-\cfrac{2cos\theta}{c\varepsilon_0}\int_0^d\sigma(x)dx)\tag*{} $

当入射光垂直入射时， r(0) 通常取 $e^{-16}$ ，而且离散化pml层的电导率可以表示为级数形式，以 $\sigma_x$ 为例

电磁场在pml当中衰减十分迅速，常规fdtd的迭代方程已不再适用，此时场以指数形式衰减

$e_x^{n 1}=e_x^{n}exp(-\cfrac{\sigma_y}{\varepsilon}\delta t)\tag*{} $

最后得到在pml层中的fdtd迭代方程如下，此处仅以 e_x 为例

实际pml吸收效果如下所示，图中颜色覆盖即为pml层，纵坐标即为归一化的电场，可见，光入射到pml以后，随着pml的逐层吸收，入射光迅速衰减到可以被忽略的量级。

参考文献

[1] allen taflove. "computational electromagnetics: the finite-difference time-domain method", boston:artech house, (2005).
[2] "boundary condition settings", www.emsimworks.com/zh-cn/knowledge-base/user-manual_boundary-condition-settings.
[3] mur, g. "absorbing boundary condition for the finite-difference approximation of the tine-domain electromagnetic-field equtions", ieee trans.electromagn.compat 23(1981).
[4] berenger,jean-pierre. "a perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves", journal of computational physics, (1994).